問題
次の文章の$\boxed{ }$内に、選択肢の中から最も適したものを選び、その番号を記せ。
次の論理関数$X$は、ブール代数の公式等を利用して変形し、簡単にすると、$\boxed{ }$になる。
$\small{X} = (\small{A} + \small{B} +\small{C}) \cdot (\overline{\overline{\small{\small{A}}} + \small{B}} + \overline{\small{A} + \overline{\small{C}}})$
| ① | $A + C$ |
| ② | $A + B +C$ |
| ③ | $\small{A} \cdot \overline{\small{B}} + \overline{\small{A}} \cdot \small{C}$ |
| ④ | $\small{}\overline{\small{A}} \cdot \small{B} + \small{A} \cdot \overline{\small{C}}$ |
| ⑤ | $\small{}\overline{\small{A}} \cdot \small{B} + \small{B} \cdot \overline{\small{C}}$ |
正解 3
上記式の $\small{ }\overline{\overline{\small{\small{A}}} + \small{B}}$ 及び $\small{ }\overline{\small{A} + \overline{\small{C}}}$ は、ド・モルガンの法則により、それぞれ以下のように変形できる。
$$\small{ }\overline{\overline{\small{\small{A}}} + \small{B}} = \small{A} \cdot \overline{\small{B}}$$
$$\small{ }\overline{\small{A} + \overline{\small{C}}} = \overline{\small{A}} \cdot \small{C}$$
よって、問題式は以下のようになる。
$$\small{X} = (\small{A} + \small{B} +\small{C}) \cdot (\overline{\overline{\small{\small{A}}} + \small{B}} + \overline{\small{A} + \overline{\small{C}}}) = (\small{A} + \small{B} +\small{C}) \cdot (\small{A} \cdot \overline{\small{B}} + \overline{\small{A}} \cdot \small{C})$$
あとは、単純に分配してみる。
$$\small{X} = (\small{A} + \small{B} +\small{C}) \cdot (\small{A} \cdot \overline{\small{B}} + \overline{\small{A}} \cdot \small{C}) = \small{A} \cdot \small{A} \cdot \overline{\small{B}} + \small{A} \cdot \overline{\small{A}} \cdot \small{C} + \small{B} \cdot \small{A} \cdot \overline{\small{B}} + \small{B} \cdot \overline{\small{A}} \cdot \small{C} + \small{C} \cdot \small{A} \cdot \overline{\small{B}} + \small{C} \cdot \overline{\small{A}} \cdot \small{C}$$
$$\small{X} = \small{A} \cdot \overline{\small{B}} + 0 + 0 + \overline{\small{A}} \cdot \small{B} \cdot \small{C} + \small{A} \cdot \overline{\small{B}} \cdot \small{C} + \overline{\small{A}} \cdot \small{C} = \small{A} \cdot \overline{\small{B}} \cdot (\small{C} + 1) + \overline{\small{A}} \cdot \small{C} \cdot (B + 1)$$
よって、以下となる。
$$\small{X} = \small{A} \cdot \overline{\small{B}} + \overline{\small{A}} \cdot \small{C}$$
ド・モルガンの法則
$\small{ }\overline{\small{\small{A}} + \small{B}} = \overline{\small{\small{A}}} \cdot \overline{\small{\small{B}}}$
$\small{ }\overline{\small{\small{A}} \cdot \small{B}} = \overline{\small{\small{A}}} + \overline{\small{\small{B}}}$
上記のような論理式が成り立つ。これをド・モルガンの法則という。
ポイント
- ド・モルガンの法則の慎重な展開:$\overline{\overline{A} + B} = A \cdot \overline{B}$ のように、肯定・否定のバーを外した後の変数の配置（$\overline{B}$ か $\overline{C}$ か）を正確に追うことが重要です。
- 相補律（$A \cdot \overline{A} = 0$）の利用:展開時に $B \cdot \overline{B}$ や $A \cdot \overline{A}$ が含まれる項はすべて $0$（消滅）になるため、計算を大幅に短縮できます。
重要用語
| 用語 | 解説 |
| ド・モルガンの法則 | 和の否定を積の否定へ、積の否定を和の否定へ変換するブール代数の公式（$\overline{Y + Z} = \overline{Y} \cdot \overline{Z}$）。 |
| 吸収律 | $P + P \cdot Q = P$ や $P \cdot (1 + Q) = P$ のように、不要な項をまとめて単純化する法則。 |
